Теория групп: как играть на кубике Рубика как на фортепиано

Как играть на кубике Рубика, играть не с ним, а на нем, как, например, на фортепиано? В этом вопросе, кажется, нет никакого смысла, но абстрактная область математики, которая называется теория групп, все-таки может дать на него ответ, если дадите мне минутку.

В математике группа – это определенный набор элементов. Это может быть и ряд целых чисел, сторона кубика Рубика или вообще, что угодно до тех пор, как это отвечает четырем определенным правилам или аксиомам.

Аксиома 1. Все операции в группе должны быть закрытыми ли ограниченными только для элементов группы. Так в нашем квадрате после каждой проделанной операции, например, повороте в одну или другую сторону, у нас все равно остаются все те же элементы группы.

Аксиома 2. Вне зависимости от того, где выполняя единую групповую операцию, мы поставим скобки, мы все равно получим один и тот же результат. Другими словами, если мы повернем квадрат направо два раза, а потом еще один – это то же самое, как если бы повернули его сначала один, а потом два раза. Если говорить о числах, это как один плюс два равняется два плюс один.

Аксиома 3. Для каждой операции в группе всегда есть элемент называющий нейтральный. Когда мы применяем его к другому элементу группы, этот элемент не меняется. Так и для поворота квадрата, и для сложения чисел нейтральный элемент – это ноль. Не очень-то захватывающе.

Аксиома 4. В каждом элементе группы есть элемент, называемый обратным. То же самое и у самой группы. При сложении двух таких элементов они дают нейтральный элемент – ноль. Поэтому можно считать, что они нейтрализуют друг друга.

Итак, все это, конечно, здорово, но какой в этом смысл? Когда мы понимаем все эти основные правила, появляются интересные свойства. Например, давайте расширим наш квадрат обратно в полный кубик Рубика. Это все так же остается группой, которая соответствует всем четырем аксиомам, хотя теперь у нас есть гораздо больше элементов и операций. Мы можем поворачивать каждый ряд и колонну каждой стороны. Каждая такая позиция называется перестановкой. И чем больше элементов в группе, тем больше существует перестановок. В кубике Рубика их более 43 квинтиллионов, так что пытаться решить его наугад – не лучшее решение.

Однако, используя теорию групп, мы можем проанализировать куб и определить последовательность перестановок, которые приведут к решению. И на самом деле именно это и делает большинство собирающих, иногда даже используя знаки теории, чтобы обозначить повороты.

Это работает не только для решения головоломок, теория групп глубоко связана также и с музыкой. Один из способов визуализировать аккорд – выписать все 12 нот и нарисовать между ними квадрат. Мы можем начать с любой, но давайте воспользуемся «до», раз уж она оказалась сверху. Получившийся в результате аккорд называется седьмым убывающим аккордом.

Теперь эта группа с этими четырьмя нотами в качестве элементов. Мы можем переставить нижнюю ноту наверх. В музыке это называется обращение и эквивалентно ассоциативности. Каждое обращение меняет звучание аккорда, но он все также остается «до» седьмым убывающим. Другими словами, это удовлетворяет аксиоме один. Композиты используют обращения, чтобы избежать нестройного звучания мелодии.

В музыке обращение выглядит так, но мы можем переложить это на наш квадрат и получить вот, что. Если вы покроете весь кубик Рубика нотами так, что каждая сторона собранного куба будет гармоническим аккордом, вы сможете выразить решение последовательностью аккордов, постепенно идущей от диссонанса гармонии и играть на кубике Рубика, если, конечно, это ваше.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Вставьте недостающее число: * Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.